US2S1L2——矩阵乘法

1. 矩阵和标量的乘法

   直接让矩阵(M)中的每一个标量和标量(k)相乘即可

2. 矩阵和矩阵的乘法

   • 判断条件： 左列右行要相等才能相乘
   • 结果矩阵结构： 左行右列
   • 标量相乘的规则： 左行乘右列再相加

   矩阵乘法不满足交换律，满足结合律

矩阵和标量的乘法

矩阵($M$)和标量($k$)的乘法很简单 直接让矩阵($M$)中的每一个标量和标量($k$)相乘即可

$$kM=Mk=k= k\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} km_{11} & km_{12} & km_{13} \\ km_{21} & km_{22} & km_{23} \\ km_{31} & km_{32} & km_{33} \\ \end{bmatrix}$$

例如：

$$2\times \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 7 & 8 \\ 6 & 9 & 0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 10 & 14 & 16 \\ 12 & 18 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

矩阵和矩阵的乘法

1. 首先需要判断两个矩阵是否能够相乘

   判断条件：左矩阵的列要和右矩阵的行相等

   $$符合条件的： \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}； 不符合条件的： \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

2. 相乘得到的矩阵结构是定死的规则

   结果结构：新矩阵的行数等于左矩阵的行，列数等于右矩阵的列

   例如：

   $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix} ；可记： \begin{matrix} 满足条件 & \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix} \end{matrix}$$

3. 标量相乘的规则：左行乘右列再相加

   $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}= a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}$$

   例如：

   $$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix} \end{matrix}，其中：c_{12}= a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32}$$

例如：

$$\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1 + 6 \times 3 + 9 \times 5, & 3 \times 2 + 6 \times 4 + 9 \times 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 66 & 84 \\ \end{bmatrix}$$

可以这样记：

$$\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{matrix} & \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 3 \times 1 + 6 \times 3 + 9 \times 5, & 3 \times 2 + 6 \times 4 + 9 \times 6 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} = \begin{matrix} & \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 66 & 84 \\ \end{bmatrix} \end{matrix}$$

矩阵和矩阵的乘法的注意事项

1. 矩阵之间的乘法 不满足交换律，就是不可以交换矩阵的顺序

   $$AB ≠ BA$$

2. 矩阵之间的乘法 满足结合律，就是计算的顺序是可以改变的

   $$(AB)C = A(BC) \\ ABCDE = (AB)(CD)E = A((BC)D)E$$

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