US2S1L5——齐次坐标

齐次坐标

齐次坐标是一种在计算机图形学中常用的表示坐标的方式。
它是通过引入一个额外的维度来扩展传统的笛卡尔坐标系，就是将一个原本是 $n$ 维的向量或矩阵用 $n + 1$ 维来表示，
让我们可以更方便的进行几何变换和矩阵运算。

举例：
三维空间中有一个向量或点 $(x , y , z)$，它对应的齐次坐标就是给它加一维，变成 $(x , y , z , w)$ ，
其中 $w$ 值的改变可以让它有具有不同的含义。

1. 齐次坐标是什么

   就是将一个原本是 $n$ 维的向量或矩阵用 $n + 1$ 维来表示

2. 为什么要使用齐次坐标进行矩阵运算

   1. 明确的区分向量和点
   2. 能够表示出平移变换

为什么要使用齐次坐标进行矩阵运算

• 主要原因1：通过齐次坐标，我们可以明确的区分向量和点

  刚才的例子讲解：
  三维空间中的 $(x , y , z)$ ，它既可以表示点，也可以表示向量。
  那么我们可以利用齐次坐标给它加一维，变成 $(x , y , z , w)$ ，
  其中 $w = 1$ 时 代表是一个点，​$w = 0$ 时 代表一个向量。
  这样我们就可以明确它是点还是向量了

  至于为什么要这么做，之后讲解平移变换时就知道答案了

• 主要原因2：$3 \times 3$ 矩阵不能直接表示平移变换

  （具体为什么不能，之后讲解平移变换时就知道答案了）
  $3 \times 3$ 矩阵只能表示线性变换，也就是只能描述对象的旋转、缩放等线性变换，而不能描述对象的平移。

  平移涉及到改变对象在空间中的位置，包括移动对象的原点。因此，我们需要引入一个额外的维度来表示平移操作，
  所以我们使用齐次坐标来将 $3 \times 3$ 矩阵加一个维度变为 $4 \times 4$ 的矩阵

  • $3 \times 3$ 矩阵一般称为线性矩阵，主要处理线性变换（主要进行旋转、缩放等线性变换）
  • $4 \times 4$ 矩阵一般称为仿射矩阵，主要处理仿射变换（线性变换 + 平移变换）

补充：表示点位置的四维齐次坐标乘以非零数（标量）所映射的三维空间的点不变

对于一个表示三维空间内的点的四维齐次坐标，它乘以或者除以一个非零的数（标量），所映射的三维坐标始终是同一个坐标

因为对于一个四维齐次坐标 $(x,y,z,w)$ ，它实际上映射到的三维空间内的坐标是 $(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$，

这也是为什么会将表示点的坐标的四维齐次坐标规定为 $(x,y,z,1)$，通过 $(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$ 计算得到，它映射的点正好是 $(x,y,z)$
这也是为什么表示向量的坐标的四维齐次坐标规定为 $(x,y,z,0)$，它可解释为无穷远的“点”，其意义就变成了描述方向

理解了四维齐次坐标 $(x,y,z,w)$ 后，映射到三维空间内的坐标是 $(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$ 后，
设定点的坐标为 $(x,y,z,1)$，当我们不对点乘以一个标量时，它映射到三维空间内的坐标是 $(x,y,z)$

当坐标乘以一个非零标量2时，新的四维齐次坐标变为 $(2x,2y,2z,2)$，通过 $(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$ 得到其映射的坐标还是 $(x,y,z)$

因此，对四维齐次坐标乘以或者除以一个非零的数（标量），所映射的三维坐标始终是同一个坐标

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